大学物理上复习笔记
本文最后更新于 2018年5月18日 早上
质点运动学
运动方程
已知运动方程x(t)，则：
速度： $ V= $
加速度：\(a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\)
匀加速直线运动
初始位置$ x_{0} \(，初始速度\) v_{0} $，加速度a ，则：
\(v=v_{0}+at\),
\(x=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\)，
\(v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0})\)
抛体运动
水平方向：\(a_{x}=0,v=v_{0}\)；
竖直方向：\(a_{y}=-g,v=v_{0y}-gt\)
力学
弹簧弹力
\(\vec{F}=-k \vec{x}\)
摩擦力
滑动摩擦力：\(F=\mu_{k} F_{N}\)
最大静摩擦力：\(F_{max}=\mu_{s}F_{n}\)
刚体转动
圆周运动
已知运动方程\(\theta(t)\)，则：
角速度：\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)
角加速度：\(\beta=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\)
匀加速圆周运动
初始角度\(\theta_{0}\)，初始角速度\(\omega_{0}\)，角加速度\(\beta_{0}\)，则
\(\omega=\omega_{0}+\beta t\)
\(\theta = \theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\beta t^{2}\)
\(\omega^2-\omega_{0}^2=2\beta(\theta-\theta_{0})\)
切向加速度、法向加速度、总加速度
法向加速度：\(a_{n}=\omega^2R=\frac{v^2}{R}\)
切向加速度：\(a_{t}=\beta R=\frac{dv}{dt}\)
总加速度：\(a=\sqrt{a_{n}^2+a_{t}^2}\)
总加速度与\(a_{n}\)夹角：\(\gamma=\arctan \left|\frac{a_{t}}{a_{n}}\right|\)
转动惯量
细棒绕端点：\(J=\frac{ml^2}{3}\)
细棒绕中心：\(J=\frac{ml^2}{12}\)
圆环绕中心：\(J=mr^2\)
圆盘绕中心：\(J=\frac{mr^2}{2}\)
球壳绕中心轴：\(J=\frac{2mr^2}{3}\)
球体绕中心轴：\(J=\frac{2mr^2}{5}\)
已知总力矩，则 \(F_{总}=J\beta\)
角动量守恒
\(mr_{1}v_{1}+J\omega_{1}=mr_{2}v_{2}+J\omega_{2}\)
功和能
势能
动能：\(E_{k}=\frac{1}{2}mv^2\)
转动动能：\(E_{k}=\frac{1}{2}J\omega^2\)
弹性势能：\(E_{p}=\frac{1}{2}kx^2\)
重力势能：\(E_{p}=mgh\)
引力势能：\(E_{p}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{r}\)
力做功
\(A=FS\cos \theta\)
能量守恒
动能+势能+功=动能+势能
完全非弹性碰撞
\(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} = (m_{1}+m_{2})v\)
简谐振动
振动方程
\(\boldsymbol{x}=A \cos (\omega \boldsymbol{t}+\varphi)\)
振幅：\(A=\left| x_{max} \right|\)
角频率：\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}(弹簧振子) = \frac{2 \pi}{T}\)
周期：\(T=\frac{2 \pi}{\omega}\)
相位：\(\omega t + \varphi\)
初相：\(\varphi\)
速度：
\(v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin (\omega t + \varphi)\)
\(v_{max}=A\omega\)
加速度：
\(a=\frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\cos (\omega t + \varphi)\)
\(a_{max} = A\omega ^ 2\)
旋转矢量法
- 画数轴，以原点为圆心，振幅长度为半径
- 标注圆的方向为逆时针，角速度\(\omega\)
- 找出初始位置x对应的点（根据方向）
- 画矢量，写初相
例：某物体沿x轴做简谐振动，振幅为A，若初始位移\(x_{0}=\frac{A}{2}\)，初始速度沿X轴正方向，则其初相为
故\(\varphi=-\frac{\pi}{3}\)
振动的能量和功
系统机械能 = 小球动能 + 弹簧弹性势能
\(E_{总}= E_{k}+ E_{p}= \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2\)
\(E_{总}=\frac{1}{2}kA^2\)
振动的合成
\(A=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+2A_{1}A_{2}\cos (\varphi_{1}-\varphi_{2})}\)
\(\tan \varphi = \frac{A_{1}\sin \varphi_{1} + A_{2}\sin \varphi_{2}}{A_{1}\cos \varphi_{1} + A_{2}\cos \varphi_{2}}\)
机械波
原点O的振动方程：\(y=A\cos (\omega t + \varphi)\)
波动方程：\(y=A\cos (\omega(t - \frac{x}{u}) + \varphi)\)，其中：
波速：\(u=\frac{\lambda}{T}=\lambda \cdot v\)，u有方向，正负号对应波的传播方向，负号为正向波，正号为负向波
波长：\(\lambda = u \cdot T=u \cdot \frac{1}{v}\)